El problema de Kakeya

Hace aproximadamente un siglo, Abram Besicovitch demostró que existen conjuntos compactos $E \subseteq \mathbb{R}^n$ de medida de Lebesgue cero que contienen un segmento unidad en todas las direcciones. La conjetura de Kakeya dice que dichos conjuntos $E$ no pueden ser más pequeños que esto, en el sentido que su dimensión de Hausdorff debe ser la misma que la del espacio ambiente. Esta conjetura ha recibido la atención de importantes analistas armónicos desde que Charles Fefferman conectara, en 1971, los conjuntos de Besicovitch con el problema de sumabilidad esférica de las series de Fourier. Fue resuelta por Roy Davies en 1971 para $n=2$, pero sigue abierta en dimensiones mayores o igual que 3. Hoy en día, se sabe que resultados parciales en la conjetura de Kakeya son claves para entender otros problemas de gran importancia en el análisis armónico, como el de restricción de la transformada de Fourier, el de sumabilidad de Bochner--Riesz para series de Fourier, o ciertos comportamientos de las soluciones de la ecuación de ondas, entre otros. Esto ha conllevado a que el problema de Kakeya juegue un papel central en el Análisis Armónico moderno.

El objetivo de este curso es hacer una introducción a este problema, así cómo estudiar su variante en términos de la función maximal de Kakeya y aprender algunas de las técnicas básicas para obtener resultados parciales. Se hará especial énfasis en la versión análoga en los cuerpos finitos $\mathbb{F}_q^n$, introducida por Thomas Wolff en 1999 y resuelta por Zeev Dvir en 2008 con el método polinomial. A parte de estas, dos referencias básicas serán los libros de Falconer y Guth. Si el tiempo lo permite, se estudiará la prueba de Larry Guth de la versión multilineal de la conjetura.

1. Roy O. Davies, Some remarks on the Kakeya problem, Proc. Cambridge Philos. Soc. \textbf{69} (1971), 417–421.
2. Zeev Dvir, On the size of Kakeya sets in finite fields, J. Amer. Math. Soc. \textbf{22} (2009), no.4, 1093–1097.
3. Kenneth Falconer, The geometry of fractal sets, Cambridge Tracts in Math., \textbf{85} Cambridge University Press, Cambridge, 1986.
4. Charles Fefferman, The multiplier problem for the ball, Ann. of Math. (2) \textbf{94} (1971), 330–336.
5. Larry Guth, A short proof of the multilinear Kakeya inequality, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. \textbf{158} (2015), no.1, 147–153.
6. Larry Guth, Polynomial methods in combinatorics, Univ. Lecture Ser., \textbf{64} American Mathematical Society, Providence, RI, 2016.
7. Thomas Wolff, Recent work connected with the Kakeya problem, Prospects in mathematics (Princeton, NJ, 1996). pages 129–162, 1999.

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Approaching evolution equations via strongly continuous semigroups

Evolutionary Partial Differential Equations are a remarkable field of investigation with a large spectra of applications. One of the most effective approaches relies on translating the issue in an abstract Cauchy problem on a suitably chosen infinite-dimensional Banach space $X$:

\begin{equation}\label{1}(1) \ \ \ \begin{cases} u'(t)=Au(t)\\u(t_0)=u_0\in X\end{cases}, \end{equation}

where $A$ is an operator acting on $X$. If $A$ is linear, a solution of $(1)$ would arise once we are able to give meaning to the exponential $e^{tA}$. The theory of semigroups of bounded operator comes exactly to the aid this question, allowing to investigate well-posedness, regularity and asymptotic stability for the original evolutionary problem.

The course will present the main features of this now-a-days classical theory, illustrating its effectiveness in dealing with linear problems and also with some nonlinear evolution problems arising from reaction-diffusion equations.

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El radio de Bohr.

A principios del siglo XX Harald Bohr probó que, si $f: \mathbb{D} \to \mathbb{C}$ es una función holomorfa con desarrollo de Taylor $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} z^{n}$, entonces

\begin{equation} (1) \ \ \ \sup_{\vert z \vert < 1/3} \sum_{n=0}^{\infty} \vert a_{n} z^{n} \vert \leq \sup_{\vert z \vert < 1} \vert f (z) \vert \,. \end{equation}

Además, $r=1/3$ es óptimo, en el sentido que es el radio del mayor disco en el que se puede tomar el supremo de la parte izquierda de la desigualdad para que ésta se verifique para toda función holomorfa. Este resultado ha llamado la atención de multitud de matemáticos. Cuando se plantea el problema de extender este resultado, pueden adoptarse diferentes puntos de vista, que han dado lugar a interesantes líneas de investigación. Algunos de ellos son:

Nuestro objetivo es estudiar y analizar con detalle la prueba del resultado original de Bohr y hacer una introducción a alguna de las líneas de investigación a las que ha dado lugar.

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Teoría ergódica de operadores

Sea $X$ un espacio de Banach y sea $T\in L(X)$. Se define $$T_{[n]}=\frac1n (T+T^2+\cdots +T^n).$$

Un operador es llamado:

El objetivo del taller es relacionar estos conceptos de acotación y convergencia, presentando teoremas clásicos como los de Von Neumann, Lorch, Yosida, Dunford y Lin, y algunos más recientes como el de Fonf, Lin y Wojtaszczyk. También se introducirá la línea de investigación relativa al estudio de propiedades ergódicas en operadores concretos que aparecen en análisis funcional.

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Espacios invariantes en análisis complejo

En la charla inicial del taller veremos una introducción al estudio de los espacios de Hilbert de funciones analíticas, centrándonos en un espacio concreto (el espacio de Hardy, $H^2$) y en dos teoremas: Primero, el Teorema de Factorización de Smirnov, que permite descomponer una función holomorfa de $H^2$ como producto de 2 funciones, generalizando la descomposición de un número complejo en sus coordenadas polares. Posteriormente, el Teorema de Beurling, que describe completamente los subespacios de $H^2$ invariantes mediante cierto operador actuando en cierto espacio. También veremos cómo ciertas propiedades de los subespacios invariantes se pueden recuperar a partir de unos polinomios que aparecen de forma natural.

En el trabajo en grupo, estudiaremos cómo estos polinomios codifican la información de una función $f \in H^2$ y en particular, sobre los espacios invariantes a los que pertenece $f$. Esto establece relaciones con otras áreas como la teoría de polinomios ortogonales o los núcleos reproductores, y permite la extensión del estudio a otros espacios de Banach.

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