Concentration inequalities in the Fock space

Given a certain notion of concentration on a function space, one may wonder under what conditions such concentration is optimal. This question immediately brings to mind the uncertainty principles considered in harmonic (Fourier) analysis, quantum mechanics, and signal processing. If we consider the Fock space of entire functions that are square-integrable with respect to a Gaussian measure, and define the concentration of a function on a subset as the fraction of its norm concentrated in that subset, its optimizers were characterized by Nicola and Tilli [4]. Roughly speaking, among all subsets in the complex plane of a prescribed size and all functions in the Fock space, concentration is maximized when the subset is a disc and the function is a reproducing kernel. The previous result can be reformulated in terms of the energy concentration of the short-time Fourier transform. Moreover, it is closely related to the study of the optimality of the Wehrl entropy, which began in the late 1970s. Lieb [3] proved that the Wehrl entropy of quantum Glauber states is minimized by coherent states. More recently, generalizations of Lieb's result---together with the characterization of the optimizers and the stability of the corresponding inequalities---have been successfully addressed. In this workshop, we will become familiar with concentration inequalities in terms of both localization in a subset and (generalized) Wehrl entropy, and we will study some results related to the Fock space. Moreover, we will explore tools that have also been applied to analogous questions involving other spaces of holomorphic functions.

1. Frank, Sharp inequalities for coherent states and their optimizers, Adv. Nonlinear Stud. 23 (2023), 28 p.
2. Kulikov, Nicola, Ortega-Cerdà, Paolo,, A monotonicity theorem for subharmonic functions on manifolds, Adv. Math. 479 (2025), 18 p.
3. Lieb, Proof of an entropy conjecture of Wehrl, Commun. Math. Phys. 62 (1978), 35-41.
4. Nicola, Tilli, The Faber-Krahn inequality for the short-time Fourier transform, Invent. Math. 230 (2022), 1-30.

Pesos $A_p$ y el teorema de extrapolación de Rubio de Francia

El objetivo de este curso es introducir la teoría de pesos $A_p$ a través de una de sus propiedades más ricas y sorprendentes: el teorema de extrapolación de Rubio de Francia. Este resultado constituye un auténtico \emph{atajo} cuando se quieren probar estimaciones con pesos, y ha pasado a ser una herramienta cotidiana en el análisis armónico moderno. En su forma más básica, el teorema afirma que si para algún $p_0 \geq 1$ un operador sublineal $T$ es acotado de $L^{p_0}(w)$ en $L^{p_0}(w)$ para todo peso $w \in A_{p_0}$, entonces $T$ es automáticamente acotado en $L^p(w)$ para todo $w \in A_p$ y para todo $ p\in ]1,\infty[$. Es decir, basta conocer la acotación del operador en un único \emph{nivel} para deducirla en todos los demás. En particular, dado que $w=1$ pertenece a $A_p$ para todo $p>1$, se deduce la acotación en $L^p(\mathbb{R})$ a partir de la acotación en el nivel $p_0$ para todos los pesos de esa clase. Este principio, sencillo de enunciar pero profundo en su contenido, permite simplificar de forma radical muchas demostraciones en teoría de operadores singulares y abre la puerta a una visión unificada de la teoría de pesos. A lo largo del curso recorreremos distintas demostraciones del resultado original, así como simplificaciones, mejoras, versiones cuantitativas y extensiones posteriores, utilizándolo como excusa para introducir herramientas fundamentales del análisis armónico y de la teoría de pesos.

1. J. Duoandikoetxea, Extrapolation of weights revisited: new proofs and sharp bounds, J. Funct. Anal. 260 (2011), 1886--1901.
2. J. Duoandikoetxea, En recuerdo de José Luis Rubio de Francia (1949--1988): una mirada al teorema de extrapolación, La Gaceta de la RSME, 16 (2013), 227--240.
3. J. L. Rubio de Francia, Factorization and extrapolation of weights, Bull. Amer. Math. Soc. 7 (1982), 393--395.
4. J. L. Rubio de Francia, Factorization theory and $A_p$ weights, Amer. J. Math. 106 (1984), 533--547.

Transporte óptimo y funciones Lipschitz: La conexión entre los grafos y $\ell^1$

Dado un espacio métrico $M$, uno se puede preguntar acerca de los transportes de masa que se pueden realizar entre puntos de $M$ y la forma óptima de llevarlos a cabo. De hecho, estos transportes óptimos se utilizan a menudo en ciencia de la computación, particularmente en el procesamiento de imágenes para calcular la similitud entre distintas fotografías. Veremos que dichos transportes están altamente relacionados con las funciones Lipschitz sobre el espacio métrico de partida (Teorema de dualidad de Rubinstein-Gavurin) y sacaremos partido de ello para estudiar cómo se pueden ver los transportes óptimos dentro del espacio $\ell^1$, uno de los mejores espacios para llevar a cabo todo tipo de algoritmos computacionales y de optimización.

Teorema de Hahn-Banach vector valuado

Uno de los principales resultados en Análisis Funcional es el teorema de Hahn-Banach. Una forma en la que aparece es la siguiente: dado un espacio de Banach $Z$, un subespacio $Y\subseteq Z$ y un funcional lineal y continuo $f:Y\longrightarrow \mathbb R$, siempre existe un funcional $F:Z\longrightarrow\mathbb R$ de forma que $F(y)=f(y)$ para todo $y\in Y$ y con $\Vert F\Vert=\Vert f\Vert$ (esto puede resumirse diciendo que $F$ es una extensión de $f$ con la misma norma). Una pregunta natural aquí es: ¿existe una versión vector-valuada del teorema anterior? Es decir, ¿podemos cambiar $\mathbb R$ por un espacio de Banach $X$ cualquiera? Y si la respuesta a las preguntas anteriores es "no", ¿cómo son los espacios de Banach $X$ que sí que lo cumplen? El objetivo de este taller será dar respuestas a las preguntas anteriores. Diremos que un espacio de Banach es \textit{inyectivo} si cumple la versión vector-valuada del teorema de Hahn-Banach descrita anteriormente. Por un lado, daremos ejemplos de espacios de Banach $X$ que son inyectivos y ejemplos que no lo son. A partir de aquí, nos preguntaremos qué forma tienen los espacios de Banach inyectivos. Pondremos entonces rumbo al teorema de Kelley, que dice que un espacio de Banach inyectivo es isométricamente isomorfo a un espacio $C(K)$ para cierto espacio topológico compacto Hausdorff $K$. Nuestra hoja de ruta será seguir la Sección 4.3 de [1], donde dicho resultado es el Theorem 4.3.7, haciendo previamente un estudio sobre la teoría de puntos extremos en espacios de Banach y resultados alrededor del teorema de Krein-Milman, desarrollado por ejemplo en [2] (Capítulo 3).

1. F. Albiac and N.J. Kalton Topics in Banach space theory, Graduate Texts in Mathematics 233 Springer, New York, 2006.
2. M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, J. Pelant and V. Zizler, Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry, CMS Books in Mathematics. Springer-Velag New York 2001.