Principios de incertidumbre

El término principio de incertidumbre recoge una gran cantidad de versiones del siguiente hecho básico: Una función $f\neq 0$ y su transformada de Fourier $\widehat{f}(\xi) = \int_{{\mathbb R}^d} f(x)e^{-2\pi i x\xi}\, dx,$ no pueden estar simultáneamente localizadas de forma precisa. Este principio heurístico puede formalizarse ya sea con desigualdades que involucren las normas de $f$ y $\widehat{f}$ en un espacio de funciones, como ocurre en la desigualdad de Heisenberg, o mediante restricciones en los conjuntos donde $f$ y $\widehat{f}$ son distintos de cero. Un ejemplo de este segundo punto de vista es el hecho bien conocido de que una función y su transformada de Fourier no pueden ser ambas soportadas en conjuntos compactos, porque la transformada de Fourier de una función de soporte compacto puede extenderse a una función entera. De hecho, Benedicts demostró que si $f\in L^1({\mathbb R}^d)$ entonces $f$ y $\widehat{f}$ no pueden ambas anularse fuera de conjuntos de medida finita a menos que $f = 0.$ Hay muchas variaciones de este tipo de resultados, así como versiones que involucran diferentes representaciones conjuntas de las funciones en tiempo y frecuencia, como la transformada en tiempo corto o la distribución de Wigner. El objetivo es discutir como se pueden obtener algunos de estos resultados usando teoría básica de operadores en espacios de Hilbert.

Descargar información

Criteria of univalence in terms of the Schwarzian derivative

Let $\varphi$ be an analytic, locally univalent (injective) function in a simply connected domain $\Omega\subset\mathbb{C}$. The \emph{Schwarzian derivative} of $\varphi$ in $\Omega$ is defined by \begin{equation} S(\varphi)=\left(\frac{\varphi''}{\varphi'}\right)' -\frac 12\left(\frac{\varphi''}{\varphi'}\right)^2\,. \end{equation} We owe to Nehari [2] the discovery that the size of the Schwarzian derivative of an analytic function is related to its univalence. The concrete result, proved in 1949, is as follows.

Theorem (Nehari): Let $\varphi$ be a locally univalent holomorphic function in the unit disk $\mathbb{D}$. Suppose that \[ \|S(\varphi)\|=\sup_{z\in\mathbb{D}} |S(\varphi)(z)|(1-|z|^2)^2\leq 2\,. \] Then $\varphi$ is (globally) univalent in $\mathbb{D}$.

On the other hand, Kraus [1] proved that if $\varphi$ is analytic and univalent in $\mathbb{D}$, then $\|S(\varphi)\|\leq 6$. In the course, in addition to review some of the properties and most relevant basic results on the theory of holomorphic univalent functions in the unit disk, we will mainly focus on the study of the techniques used in the proofs of the theorems mentioned. In particular, in Nehari's theorem whose proof is based on Sturm comparison and separation theorems from ODEs. We will review other univalent-functions-related results as well, if time permits.

1. [1] W. Kraus, Über den Zusammenhang einiger Charakteristiken eines einfach zusammenhängenden Bereiches mit der Kreisabbildung, Mitt. Math. Sem. Giessen 21 (1932), 1–28.
2. [2] Z. Nehari, The Schwarzian derivative and schlicht functions, Bull. Amer. Math. Soc. 55 (1949), 545–551.

Descargar información

Familias casi disjuntas en Topología y Análisis Funcional.

En este curso exploraremos el impacto de las familias casi disjuntas maximales (en inglés MAD families) en Análisis Funcional y Topología. Una familia $\mathcal{F} \subseteq \mathbb{N}$ de subconjuntos infinitos de $\mathbb{N}$ es \textbf{casi disjunta} si para todo $A, B \in \mathcal{F}$ con $A \neq B$, el conjunto $A \cap B$ es finito. Si además $\mathcal{F}$ es maximal, es decir, si no existe un conjunto infinito $X \subseteq \mathbb{N}$ tal que $\mathcal{F} \cup \{X\}$ sigue siendo casi disjunta, entonces se dice que $\mathcal{F}$ es una MAD family. Comenzaremos el curso analizando distintas formas elementales de construir familias casi disjuntas y estudiando qué tamaño pueden tener las familias maximales siguiendo la referencia [1]. Las familias casi disjuntas maximales han demostrado ser una herramienta fundamental en el estudio de propiedades secuenciales en Topología, especialmente a través de los llamados compactos de Franklin. Abordaremos en el curso la construcción de estos compactos y examinaremos algunas de sus propiedades topológicas más relevantes. En el contexto de la teoría de espacios de Banach, las familias casi disjuntas maximales desempeñan un papel clave en la construcción de los espacios de Johnson-Lindenstrauss, que desde su aparición en la literatura han resultado ser una fuente inagotable de contraejemplos a problemas clásicos de espacios de Banach. Nuestro objetivo final será estudiar la construcción original de estos espacios siguiendo la referencia [2], así como explorar algunas de las cuestiones que estos espacios han contribuido a resolver.

1. [1] S. Geschke, Almost disjoint and independent families, RIMS Kokyuroku 1790 (2012), 1–9.
2. [2] W.B. Johnson, J. Lindenstrauss, Some remarks on weakly compactly generated Banach spaces, Isr. J. Math. 17 (1974), 219–230.

Descargar información

Medidas de Aleksandrov-Clark

En la charla inicial del taller definiremos las medidas de Aleksandrov-Clark para una aplicación holomorfa $\varphi\colon \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{D}$ en el disco unidad. Repasaremos algunas de sus propiedades, con especial atención al Teorema de Desintegración de Aleksandrov. Finalmente, como ejemplo de las muchas aplicaciones de estas medidas, hablaremos de la relación entre las medidas de Aleksandrov-Clark, la derivada angular de $\varphi$ y el Teorema de Julia-Caratheodory. En el trabajo en grupo, estudiaremos operadores de composición por una función analítica mediante las medidas de Aleksandrov-Clark. En concreto, nos centraremos en la caracterización de la compacidad de estos operadores en los espacios $\mathrm{L}^1$ y $\mathrm{H}^2.$ Dependiendo del tiempo y los intereses del grupo, podremos ver otros resultados sobre operadores de composición o aplicaciones distintas de las medidas de Aleksandrov-Clark.

Descargar información